Trong những công thức dưới đây. x và y là các số thực, k, m, và n là các số nguyên, và Z {\displaystyle \mathbb {Z} } là tập hợp số nguyên (số dương, số âm, và không).

Floor và ceiling có thể được định nghĩa bằng tập hợp như sau

⌊ x ⌋ = max { n ∈ Z ∣ n ≤ x } , {\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\},} ⌈ x ⌉ = min { n ∈ Z ∣ n ≥ x } . {\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}

Trong nữa khoảng có độ dài bằng một có duy nhất một số nguyên, vậy với số thực x tùy ý, có duy nhất cặp m,n thỏa mãn

x − 1 < m ≤ x ≤ n < x + 1. {\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.\;}

Khi đó ⌊ x ⌋ = m {\displaystyle \lfloor x\rfloor =m\;} and ⌈ x ⌉ = n {\displaystyle \;\lceil x\rceil =n\;}

có thể là định nghĩa cho các hàm floor và ceiling.

Phần lẻ x ký hiệu { x } {\displaystyle \{x\}} là hàm số định nghĩa theo công thức sau, { x } = x − ⌊ x ⌋ , {\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor ,} and Toán tử mô-đun được định nghĩa theo công thức x mod y = x − y ⌊ x y ⌋ . {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}

Equivalences

Các công thức dưới đây dùng để rút gọn các biểu thức chứa các hàm floors, ceilings.[5]

⌊ x ⌋ = n ⇔ n ≤ x < n + 1 , ⌈ x ⌉ = n ⇔ n − 1 < x ≤ n , ⌊ x ⌋ = n ⇔ x − 1 < n ≤ x , ⌈ x ⌉ = n ⇔ x ≤ n < x + 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n&\;\;\Leftrightarrow &n&\leq x<n+1,\\\lceil x\rceil =n&\;\;\Leftrightarrow &n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor =n&\;\;\Leftrightarrow &x-1&<n\leq x,\\\lceil x\rceil =n&\;\;\Leftrightarrow &x&\leq n<x+1.\end{aligned}}}

In the language of order theory, the floor function is a residuated mapping, that is, part of a Galois connection: it is the upper adjoint of the function that embeds the integers into the reals.

x < n ⇔ ⌊ x ⌋ < n , n < x ⇔ n < ⌈ x ⌉ , x ≤ n ⇔ ⌈ x ⌉ ≤ n , n ≤ x ⇔ n ≤ ⌊ x ⌋ . {\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;\Leftrightarrow &\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;\Leftrightarrow &n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;\Leftrightarrow &\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;\Leftrightarrow &n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}

Các công thức dưới đây đưa ra quy tắc khi cộng thêm một số nguyên vào các hàm phần nguyên như thế nào:

⌊ x + n ⌋ = ⌊ x ⌋ + n , ⌈ x + n ⌉ = ⌈ x ⌉ + n , { x + n } = { x } . {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}

Các công thức trên không đúng nếu n không phải số nguyên, tuy vậy:

⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ ≤ ⌊ x + y ⌋ ≤ ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ + 1 , ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ − 1 ≤ ⌈ x + y ⌉ ≤ ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ . {\displaystyle {\begin{aligned}&\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \;\lfloor x+y\rfloor \;&\leq \;\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\&\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \;\lceil x+y\rceil \;&\leq \;\lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}

Mối liên hệ giữa các hàm

Từ định nghĩa dễ dàng có được

⌊ x ⌋ ≤ ⌈ x ⌉ , {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,} dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x là số nguyên, i.e. ⌈ x ⌉ − ⌊ x ⌋ = { 0  if  x ∈ Z 1  if  x ∉ Z {\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}

n là số nguyên thì:

⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n . {\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}

Khi số âm là đối số thì đổi các hàm floor và ceil đồng thời đưa dấu trừ ra ngoài:

⌊ x ⌋ + ⌈ − x ⌉ = 0 , {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =0,} tức là: ⌊ − x ⌋ = − ⌈ x ⌉ , {\displaystyle \lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil ,} ⌈ − x ⌉ = − ⌊ x ⌋ , {\displaystyle \lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor ,} ⌊ x ⌋ + ⌊ − x ⌋ = { 0  if  x ∈ Z − 1  if  x ∉ Z , {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}} ⌈ x ⌉ + ⌈ − x ⌉ = { 0  if  x ∈ Z 1  if  x ∉ Z . {\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}

Về phần lẻ:

{ x } + { − x } = { 0  if  x ∈ Z 1  if  x ∉ Z . {\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}

Floor, ceiling, và phần lẻ là hàm idempotent:

⌊ ⌊ x ⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋ , ⌈ ⌈ x ⌉ ⌉ = ⌈ x ⌉ , { { x } } = { x } . {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\\\end{aligned}}}

Dễ thấy các đẳng thức sau là đúng:

⌊ ⌈ x ⌉ ⌋ = ⌈ x ⌉ , ⌈ ⌊ x ⌋ ⌉ = ⌊ x ⌋ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor .\\\end{aligned}}}

Với y có định thì, x mod y là hàm idempotent:

( x mod y ) mod y = x mod y . {\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\,{\bmod {\,}}y=x\,{\bmod {\,}}y.\;}

Cũng từ định nghĩa ta có,

{ x } = x mod 1. {\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1.\;}

Phép chia

Nếu n ≠ 0,

0 ≤ { m n } ≤ 1 − 1 | n | . {\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}

Nếu n > 0,

⌊ x + m n ⌋ = ⌊ ⌊ x ⌋ + m n ⌋ , {\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,} ⌈ x + m n ⌉ = ⌈ ⌈ x ⌉ + m n ⌉ . {\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}

Nếu m > 0,

n = ⌈ n m ⌉ + ⌈ n − 1 m ⌉ + ⋯ + ⌈ n − m + 1 m ⌉ , {\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,} n = ⌊ n m ⌋ + ⌊ n + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ n + m − 1 m ⌋ . {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}

Với m = 2:

n = ⌊ n 2 ⌋ + ⌈ n 2 ⌉ . {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .}

Tổng quát,[6] với m > 0,

⌈ m x ⌉ = ⌈ x ⌉ + ⌈ x − 1 m ⌉ + ⋯ + ⌈ x − m − 1 m ⌉ , {\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,} ⌊ m x ⌋ = ⌊ x ⌋ + ⌊ x + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ x + m − 1 m ⌋ . {\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}

Biểu thức dưới đây dùng để chuyển đổi floors sang ceilings và ngược lại (m > 0)[7]

⌈ n m ⌉ = ⌊ n + m − 1 m ⌋ = ⌊ n − 1 m ⌋ + 1 , {\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,} ⌊ n m ⌋ = ⌈ n − m + 1 m ⌉ = ⌈ n + 1 m ⌉ − 1 , {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}

Nếu m và n là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau, thì

∑ i = 1 n − 1 ⌊ i m n ⌋ = 1 2 ( m − 1 ) ( n − 1 ) . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {im}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).}

Vì vế phải của biểu thức trên đối xứng theo m và n, vậy nên ta có biểu thức dưới đây

⌊ m n ⌋ + ⌊ 2 m n ⌋ + ⋯ + ⌊ ( n − 1 ) m n ⌋ = ⌊ n m ⌋ + ⌊ 2 n m ⌋ + ⋯ + ⌊ ( m − 1 ) n m ⌋ . {\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}

Tổng quát, nếu m và n nguyên dương,

⌊ x n ⌋ + ⌊ m + x n ⌋ + ⌊ 2 m + x n ⌋ + ⋯ + ⌊ ( n − 1 ) m + x n ⌋ = ⌊ x m ⌋ + ⌊ n + x m ⌋ + ⌊ 2 n + x m ⌋ + ⋯ + ⌊ ( m − 1 ) n + x m ⌋ . {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}

Cho các số nguyên dương m,n, and arbitrary real number x:

⌊ ⌊ x / m ⌋ n ⌋ = ⌊ x m n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor } ⌈ ⌈ x / m ⌉ n ⌉ = ⌈ x m n ⌉ {\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil }

Sự liên tục

Không có hàm nào chúng ta đang xét là liên tục cả, nhưng đều tuyến tính trên từng đoạn. ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } and ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } là hàm hằng trên từng đoạn và gián đoạn tại các điểm nguyên. Hàm { x } {\displaystyle \{x\}} cũng gián đoạn tại các điểm nguyên, và x mod y {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y} với biến x hằng y gián đoạn tại các bội của y.

⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } is upper semi-continuous and ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } and { x } {\displaystyle \{x\}\;} are lower semi-continuous. x mod y is lower semicontinuous for positive y and upper semi-continuous for negative y.

Khai triển chuỗi

Các hàm chúng ta đang xét đều không liên tục vì thế chúng không có các khai triển chuỗi lũy thừa. Hàm floor và ceiling không liên tục nên không có khai triển Fourier.

Với y cố định,x mod y có khai triển Fourier [8]

x mod y = y 2 − y π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x y ) k . {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y={\frac {y}{2}}-{\frac {y}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi kx}{y}}\right)}{k}}.}

Phần lẻ {x} = x mod 1 khai triển:

{ x } = 1 2 − 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x ) k . {\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}

Dùng công thức {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} ta có

⌊ x ⌋ = x − 1 2 + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x ) k . {\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}